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三门问题(蒙提霍尔悖论)解析

解法一

问题的答案是可以:当参赛者转向另一扇门而不是维持原先的选择时,赢得汽车的机会将会加倍。

有三种可能的情况,全部都有相等的可能性(1/3):

参赛者挑山羊一号,主持人挑山羊二号。转换将赢得汽车。

参赛者挑山羊二号,主持人挑山羊一号。转换将赢得汽车。

“参赛者挑汽车,主持人挑羊一号。转换将失败”,和“参赛者挑汽车,主持人挑羊二号。转换将失败。”此情况的可能性为:1/3 × 1/2 + 1/3 × 1/2 = 1/3。

解法二

另一种解答是假设你永远都会转换选择,这时赢的唯一可能性就是选一扇没有车的门,因为主持人其后必定会开启另外一扇有山羊的门,消除了转换选择后选到另外一只羊的可能性。因为门的总数是三扇,有山羊的门的总数是两扇,所以转换选择而赢得汽车的概率是2/3,与初次选择时选中有山羊的门的概率一样。

补充说明

第一次选的空门(概率66.6%),之后主持人开另一个空门,换门,得到汽车。

第一次选的汽车(概率33.3%),之后主持人开另一个空门,不换门,得到汽车。

这里影响到结果的概率问题只发生在第一次选门上,如果条件如上设置,当一开始的门选定后,事件的结果也就决定了,所以这里不存在之后主持人是选择1号空门,还是2号空门的问题,所以在做概率计算是不考虑主持人的选择。如果也要考虑主持人的话:

第一次选的空门1(概率1/3),之后主持人开另一个空门,换门,得到汽车。事件总概率1/3。

第一次选的空门2(概率1/3),之后主持人开另一个空门,换门,得到汽车。事件总概率1/3。

第一次选的汽车(概率1/3),之后主持人开另一个空门1(概率1/2),不换门,得到汽车 这个事件总概率1/3 × 1/2 = 1/6。

第一次选的汽车(概率1/3),之后主持人开另一个空门2(概率1/2),不换门,得到汽车 这个事件总概率1/3 × 1/2 = 1/6。

主持人选1号空门还是2号空门打开,这里有个主持人的选择概率,我假设的是主持人随机选择(抽签或者随意),所以各给了50%的概率,如果主持人就是喜欢1号空门,必开1号,那么也就成了1号(100%),2号(0%)了,最后结果并不影响。

所以开始选中汽车,最后换门不得奖的概率是33.3%,开始选中空门,换门最后得奖的概率是66.6%。

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也是受朋友之托。

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